PPC-PPR: PROBLEMA FUNDAMENTAL DE TANGENCIAS

Hola a tod@s!

En una entrada anterior os comenté que la mayoría de los problemas de tangencias podían resolverse si los reducíamos a un sólo caso, el PFT, donde se buscaban las circunferencias que pasando por 2 puntos, eran tangentes a una recta dada (PPr). Pero hoy, contemplando los cilindros huecos del Museo de la Cerámica de Sevilla, quería demostraros que la condición de tangencia puede ser respecto a una circunferencia en vez de a una recta, y estaríamos ante el mismo problema. 

Esto es posible porque, conceptualmente, la recta puede considerarse como una circunferencia de radio infinito. Por tanto, nuestro PFT consistiría en determinar las circunferencias que pasando por 2 puntos, son tangentes a otra circunferencia dada (PPc). 

Otro enfoque más abstracto también permitiría sustituir los puntos de paso por una condición de pertenencia a un haz, pero en cualquier caso, sería válido aplicar el concepto de potencia.

Los pasos a seguir, y que podéis ir viendo en geogebra, son:

Paso 1: Trazamos el eje radical (e1) del haz de circunferencias que pasan por A y B, del que formarán parte las circunferencias solución. Después hallamos la mediatriz del segmento AB que se corresponde con el lugar geométrico (LGAB) de los centros de las circunferencias del haz.

Paso 2: Trazamos una circunferencia auxiliar que pertenezca al haz de circunferencias que pasan por A y B y hallamos el centro radical de las circunferencias del haz y la circunferencia dada.

Paso 3: Desde el centro radical, trazamos una de las rectas tangentes a la circunferencia auxiliar, obteniendo el punto de tangencia T.

Paso 4: Trazamos la circunferencia que es el lugar geométrico de todos los puntos T desde los que la potencia desde el centro radical tiene el valor determinado. Los puntos de intersección  de esta circunferencia con la circunferencia dada (T1 y T2) son los puntos de tangencia de las circunferencias solución con la dada.

Paso 5: Puesto que los centros de las circunferencias siempre  tienen que estar alineados con el punto de tangencia, trazamos las rectas lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a la dada por T1 y T2 (LG1 y LG2). Donde estas rectas se corten con LGAB obtendremos O1 y O2, y con estos centros dibujaremos las circunferencias solución.

Como podréis observar, dados 2 puntos de paso, si la condición de tangencia es una recta o una circunferencia, no influye en cómo resolver el problema. Deslizad el cursor del geogebra para darle distintos valores al radio de la circunferencia hasta convertirlo en una recta y veréis que se trata del mismo procedimiento. 

¿Os atrevéis a comprobarlo?

Nos vemos pronto!

CÓNICAS

Hola a tod@s!

Siguiendo con mi propósito de descubrir geometrías ocultas, esta vez, aprovechando mi viaje a Roma, quería hablaros de las cónicas, que son un conjunto de curvas que resultan de la intersección de un plano con un cono o superficie cónica de revolución, de ahí su nombre. 

Dependiendo de la inclinación de dicho plano respecto al eje de la superficie cónica, se obtiene una curva distinta, con la particularidad de que si el plano secciona al cono perpendicularmente, la curva formada es una Circunferencia (1).

En los demás casos, tendremos las siguientes cónicas:

• Elipse (2): el plano secante es oblicuo al eje  y corta todas las generatrices del cono
• Parábola (3): el plano secante es oblicuo al eje y paralelo a una de las generatrices del cono.
• Hipérbola (4):el plano secante es paralelo y oblicuo al eje y corta al cono

           

Si miramos a nuestro alrededor, en esta ciudad italiana, la cónica que observamos con mayor frecuencia es la elipse, sobre todo en la arquitectura barroca, ya que es en esa época donde las curvas adquieren protagonismo frente a las líneas rectas para dotar de mayor teatralidad a los espacios.

La elipse se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Con esta característica, las elipses podían trazarse sin complicaciones utilizando, por ejemplo, el llamado "método del jardinero", mediante el cual, colocando dos estacas en los focos y con una cuerda bien tensada que midiera lo mismo que el eje mayor, se ataba a cada una de las estacas y se rodeaban por fuera los focos describiendo así la trayectoria elíptica.

Podemos contemplar elipses en la forma de la planta del Coliseo, en la configuración de la plaza de San Pedro, en la cúpula de la iglesia de San Carlino... pero sin duda, una de las que más ha llamado mi atención es la de la plaza del Campidoglio, diseñada por Miguel Ángel, ya que debido a la posición de los edificios que la enmarcan, a veces se percibe como un ovoide, dependiendo de la perspectiva desde la que se mire.

 

Toda elipse tiene una serie de elementos característicos que necesitáis conocer: 

• ejes: son 2 ejes perpendiculares entre sí, uno llamado eje mayor o real y otro menor o imaginario, que se cortan en sus puntos medios
• centro: punto de intersección de los 2 ejes
• focos: son 2 puntos fijos situados en el eje mayor, simétricos respecto al eje menor. La distancia entre los focos se denomina distancia focal
• radios vectores: son las rectas que unen cualquier punto de la elipse con los focos
• circunferencial principal: tiene como centro el centro de la elipse, y de diámetro la longitud del eje mayor
• circunferencias focales: tienen como centro los focos, y de radio la longitud del eje mayor

En función de los elementos que tengamos como dato, es posible determinar el resto de elementos, empleando distintos procedimientos.

En nuestro caso la cónica está dibujada en la plaza y lo más fácil de distinguir son sus ejes de simetría. La dirección del eje mayor o principal, aunque no lo vemos, está marcada por la escalinata de acceso, mientras que el eje menor o secundario será perpendicular al principal desde el centro, donde justo se ubica  la estatua ecuestre de Marco Aurelio sobre una estrella de 12 puntas. 

¿Pero dónde están los focos?

Lo cierto es que, dada la elipse y conociendo los ejes, si desde el extremo del eje menor trazamos un arco cuyo radio es la longitud del semieje mayor, podemos localizar los focos en los puntos de corte del arco con el eje mayor, y entonces nos damos cuenta que los focos coinciden con la intersección de dos de los pétalos. 

Pero aún hay una curiosidad más "escondida". Si cogemos un punto cualquiera P de la elipse, trazamos la recta tangente a la elipse por dicho punto, construimos una circunferencia auxiliar con centro en P y radio la distancia P-f2, al hallar el simétrico de f2 respecto a la tangente, obtenemos f'2 que será el punto de tangencia con la circunferencia focal. Por lo tanto también podremos dibujar la circunferencia focal con centro en f1 y radio f1-f'2.

¿Y creéis que el pavimento inspirado en la flor del girasol, guarda alguna relación geométrica con la curva? 

Pues si trazamos las bisectrices de los ángulos que se forman en la estrella central y las alargamos hasta la elipse, descubrimos que se corresponden con las divisiones o puntos  donde la punta de los pétalos debe tocar a la elipse.

Esto ha sido una pequeña introducción sobre la elipse que en breve ampliaré para profundizar más en esta curva y plantearos otros enfoques geométricos.

Del mismo modo, en futuras entradas del blog, trabajaremos la parábola y la hipérbola. ¿Ya habéis observado por Madrid alguna de ellas? Mantenedme informada!

Hasta la próxima!

DETERMINACIÓN DEL INVERSO DE UN PUNTO. ESTUDIO DE CONSTRUCIONES.

Hola a tod@s!

Ya sabéis que siempre estoy a vueltas con la geometría y una vez más voy a dar muestra de ello. Tras mi visita a la Alhambra de Granada, me he quedado fascinada con la cantidad de mosaicos diferentes que podéis encontrar, y como tengo pendiente pintar un mural, he pensado que los motivos geométricos pueden servirme de inspiración.

Hay teselas me gustan mucho como la pajarita nazarí o el pétalo, cuyas formas derivan de un triángulo equilátero, así como el avión o el hueso, que derivan de un cuadrado. Sin embargo, me gustaría hacer algo más innovador para el mural. ¿Qué os parece si en vez de polígonos regulares como en la Alhambra, utilizo sus figuras inversas? Si aplicamos la inversión a un polígono, obtendremos una figura que no mantiene las proporciones originales, y como además es involutiva, si se aplica dos veces obtenemos la figura inicial.

Para aquellos que no sepan qué es una inversión, deciros que, al igual que la homotecia, se trata de una transformación geométrica con centro, en la que a cada punto P le corresponde un inverso P’, de manera que ambos estarán alineados con un punto fijo llamado Centro de Inversión I. 

La relación entre las posiciones relativas de cada punto y su transformado respecto del centro de inversión se basan en el concepto de potencia y siempre se cumple que el producto de la distancia de un punto al centro de inversión, por la distancia de su transformado a dicho centro es constante. Es lo que se llama potencia de inversión. IP·IP’=cte.

Teniendo en cuenta la potencia de un punto respecto a una circunferencia, si desde el Centro de Inversión trazamos rectas secantes a la circunferencia, encontramos diferentes puntos y sus inversos y como K es constante, cuanto más cerca esté un punto del Centro de Inversión, más lejos estará su transformado.

Existe un caso en que un punto y su inverso coinciden, es decir, que los dos están a la misma distancia del Centro de Inversión. Se trata de los puntos obtenidos al trazar una recta tangente desde el Centro de Inversión a la circunferencia.

OA·OA’ = OB·OB’ = OT·OT = K

Todos los puntos situados a la misma distancia del Centro de Inversión que el punto de tangencia, se dice que son puntos dobles, y a este lugar geométrico se le llama Circunferencia de Puntos Dobles o Circunferencia de Autoinversión. Cualquier circunferencia que contenga un par de puntos inversos es doble.

La potencia de inversión será positiva si el punto y su inverso están al mismo lado respecto del centro de inversión, y será negativa si el centro de inversión se encuentra entre el punto y su inverso. En el caso de potencia positiva, la inversión puede tener puntos dobles, mientras que con potencia negativa, la Circunferencia de Autoinversión será doble pero no de puntos dobles

Otra característica de la Inversión es que se trata de una transformación conforme u homográfica, lo que significa que conserva las relaciones angulares, es decir,  el ángulo que forman dos elementos será el mismo que el que forman sus transformados. Por este motivo, una de las aplicaciones más frecuentes de la inversión es la resolución de los problemas de tangencias.

Una Inversión puede estar definida de 3 maneras:

• Dado el Centro de Inversión y un par de puntos inversos
• Dado el Centro de Inversión y la Potencia de Inversión
• Dados dos pares de puntos inversos no alineados

En nuestro caso, nos vamos a quedar con la opción en la que se conoce el Centro de Inversión y la Potencia, ya que sabiendo ésta, tendremos el radio de la Circunferencia de Autoinversión.

Otras consideraciones importantes a tener en cuenta son las siguientes:

• dos puntos y sus inversos son concíclicos, es decir, que están en una misma circunferencia que es doble en la inversión y corta ortogonalmente a la misma.
• la recta que une 2 puntos no alineados A y B y la que une sus respectivos inversos A' y B' son antiparalelas, lo que significa que el ángulo que forma la recta A-A’ con A’-B’ y con A-B son iguales que los que forma la recta B-B’ con A-B y con A’-B’ respectivamente.

Y entonces, ¿cómo determinamos el inverso de un punto? Existen diferentes construcciones, bastante sencillas, que se pueden emplear para resolverlo:

• Teorema de Thales

• Teorema de la altura

• Teorema del cateto

• Concepto de Potencia

• Por antiparalelas

• Por circunferencia doble

Ahora sólo nos queda hallar el inverso de nuestras formas geométricas por el método que prefieras, a ver qué figura obtenemos.

Os animo a intentarlo!

REDUCCIÓN DE PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

Hola a tod@s! 
 

Esta semana he empezado un taller de vidrieras y me han venido a la memoria los impresionantes y coloridos rosetones de las catedrales góticas.

He estado investigando un poco y he descubierto que la mayoría esconden una complejísima geometría, en la que sin duda predominan las circunferencias tangentes. El término "tangencia" viene del latín (tangere=tocar) y se emplea para designar líneas, curvas y superficies que se tocan en uno o varios puntos sin llegar a cortarse.

Tratando de descifrar esos trazados, he podido deducir que hay circunferencias tangentes a otras 3 circunferencias dadas, circunferencias tangentes a 2 rectas y que pasan por 1 punto,  circunferencias tangentes a 3 rectas, circunferencias tangentes a otra circunferencia y que pasan por 1 punto... el listado es interminable!

Me he desanimado un poco pensando en la cantidad de problemas que iba a tener que resolver para hacer mi diseño, pero entonces  mi profesora me ha dicho que no me preocupara porque simplemente tenía que recordar el concepto de potencia de 1 punto respecto de 1 circunferencia y de esa manera, podría reducir todos los casos a uno más genérico: el Problema Fundamental de Tangencias (PFT).

Con ese nombre tan importante, os preguntaréis en qué consiste, ¿no? ¿Y cómo lo resolvemos?

Caso 1: PPr

Al parecer, para determinar las circunferencias de mi vidriera, sólo necesito saber una recta r a la que sea tangente y dos puntos de paso P y Q. Con esos datos, hay que determinar el valor de la potencia mediante alguna de las construcciones utilizadas para resolver medias proporcionales:

• teorema de la altura
• teorema del cateto
• potencia

En la applet de geogebra que os pongo a continuación, os he puesto los pasos necesarios para resolverlo.

En el caso de la vidriera, elegiré la circunferencia que más me convenga al diseño. 

Poco a poco voy avanzando y me doy cuenta que para una de las circunferencias que necesito dibujar, sólo conozco 1 punto por el que pasa, y dos rectas a las que es tangente. 

Entonces, ¿cómo puedo simplificar el problema para que sea como el anterior? 

Caso 2: Prr 

Como la circunferencia que busco tiene que ser tangente a las dos rectas, también será equidistante a ambas rectas, y si además tiene que pasar por el punto P, esta equidistancia se puede conseguir obligando a la circunferencia a pasar por el simétrico de P, P’. Con ello, ahora podemos considerar que las 3 condiciones necesarias para hallar la solución no son 2 rectas y 1 punto, sino 2 puntos y 1 recta, como en el caso anterior, y a partir de ahí el procedimiento será el mismo, como podéis comprobar en geogebra.

Gracias a la reducción al PFT, todo es mucho más fácil y creo que podré diseñar mi vidriera sin problemas.

¿Os ha parecido útil? Espero que os animéis a practicar...

GLOSARIO DE GEOMETRÍA

 

Hola a tod@s!

Hoy he querido dedicar esta entrada para crear un glosario de geometría con palabras que van apareciendo y no sabemos exactamente lo que significan. Lo iré completando a medida que surjan los temas. 

Espero que sea útil!

A

Antiparalelas: Propiedad de dos rectas r y s cuando forman con otras dos m y n ángulos tales, que los que r forma con m y con n, son respectivamente iguales a los que s forma con n y con m.

Arco Capaz: Se define como "Arco capaz" de un ángulo a sobre un segmento AB como el lugar geométrico de los puntos del plano que unidos con A y con B abrazan un ángulo a.

Asíntotas

Axonométrico: Sistema de representación que utiliza como base de proyección un triedro trirrectángulo. Este sistema posee tres variantes: Isométrico, Dimétrico y Trimétrico.

B

Baricentro: Punto de encuentro de las tres medianas de un triángulo.

Biunívoca: Propiedad de las transformaciones geométricas que asocian cada uno de los elementos de la figura primera con uno, y solo uno, de los elementos de la figura segunda, y cada elemento de esta última con uno, y solo uno, de los elementos de la primera.

C

Caballera: Perspectiva basada en la proyección cilíndrica oblicua sobre un triedro trirrectángulo en el que el plano XZ queda frontal al observador.

Centro radical: Punto que tiene la misma potencia respecto de tres circunferencias. En este punto se cortan los ejes radicales definidos entre cada dos circunferencias de las tres dadas.

Circuncentro:

Circunferencia focal:

Circunferencia principal:

Concíclico:

Conforme:

Cónica:

Corradicales:

D

Diámetros conjugados: Son aquellos que cumplen que, trazando una cuerda paralela a uno de ellos, ésta es dividida por el otro diámetro en dos mitades.

Diedro:Conjunto de dos planos no paralelos.

Directriz: Línea curva por la que pasan las generatrices de una superficie. Generalmente se refiere a la curva base de ésta

E

Eje radical: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de dos circunferencias.

Elipse: Curva cónica definida como "Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante".

Excentricidad:

F

Foco: Punto real o impropio, donde concurren todas las semirrectas de una radiación. Punto fijo que se utiliza para la construcción de las curvas cónicas (elipse, parábola e hipérbola).

G

Generatriz:

H

Haz:

Hipérbola: Curva cónica definida como "Lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante".

Homotecia: Se llama Homotecia (o Semejanza) de centro O y razón k (distinto de cero) a la transformación que hace corresponder a un punto A otro A´, alineado con A y O, tal que: OA´/OA = k. Si k>0 se llama homotecia directa. Si k<0 se llama homotecia inversa.

I

Incentro:

Inversión:

Involutiva: Caso de transformación geométrica en la que, aplicando el mismo proceso de transformación a la figura segunda, se obtiene de nuevo la figura primera.

Isométrico: Caso del Sistema Axonométrico en el que los ejes forman entre sí tres ángulos iguales de 120º.

J

K

L

Lugar geométrico: Dícese del conjunto de puntos que cumplen una misma condición geométrica.

M

Mediana: Cada una de las líneas que, partiendo de los puntos medios de cada uno de los lados de un triángulo, unen con los vértices opuestos a sus respectivos lados.

Mediatriz: Recta perpendicular a un segmento por su punto medio.

N

Normal: Recta perpendicular a una tangente en el punto de tangencia

O

Ortocentro:

P

Parábola: Curva cónica definida como "Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta llamada directriz".        

Potencia: Es el valor de la constante en la transformación de Inversión.

Q

R

S

T

Tangente: Condición de una línea, plano o cuerpo, según la cual, tiene un solo punto o recta en común, con otra línea, plano o cuerpo.

U

V

Verdadera magnitud: Aspecto y dimensión reales que tendrán una determinada línea o forma plana, en contraposición del aspecto reducido que muestra a veces esa misma forma representada en proyección. Para conocer la verdadera magnitud de una forma se recurre a mecanismos como los giros, cambios de plano o abatimientos.

Vértice: Punto en el que terminan dos o más semirrectas o segmentos.

X

Y

Z

PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

 Hola de nuevo!

¿Podéis creeros que últimamente sólo veo triángulos en todas partes?

Hoy me han encargado un proyecto de jardinería a orillas del río Savinja en Eslovenia, en un parque lineal de geometrías triangulares. Lo que quieren es plantar árboles en los parterres de césped porque no hay ninguna sombra para resguardarse en los cálidos días de verano, y necesitan que les haga un diseño. Como todos los triángulos son diferentes, he pensado que podría establecer algún criterio encontrando un denominador común para todos ellos.

Ya sabéis que, aunque aparentemente los triángulos son figuras geométricas muy sencillas, poseen múltiples características, propiedades... y podemos encontrar varios teoremas y numerosas curiosidades al respecto.

¿Qué os parece si nos centramos en los puntos notables de los triángulos y me ayudáis a decidir?

Para empezar, vamos a repasar la definición de triángulo, que es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos que no se encuentran alineados. Los puntos de intersección de las rectas son los vértices, y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Además, los lados contiguos forman un ángulo, siendo la suma de los 3 ángulos interiores del triángulo, 180º.

Si recordáis existen 4 puntos notables:

• Baricentro: ya lo vimos el otro día.
• Ortocentro: es el punto donde se cortan las 3 alturas del triángulo, siendo éstas las rectas que pasan por cada vértice y son perpendiculares al lado opuesto de dicho vértice o a su prolongación. A diferencia del Baricentro que siempre está situado en el interior del triángulo, la ubicación del Ortocentro dependerá de los ángulos del triángulo. En los triángulos rectángulos, el Ortocentro coincide con el vértice correspondiente al ángulo recto, en los acutángulos es interior, y en los obtusángulos es exterior.
• Circuncentro: es el punto donde se cortan las mediatrices de los lados del triángulo.  Una mediatriz es la recta que pasa por el punto medio de cada lado, siendo perpendicular al mismo, y tiene la propiedad de que todos los puntos de la mediatriz equidistan de los vértices que definen el lado. Esto implica que el Circuncentro está a la misma distancia de los vértices del triángulo y por eso es posible trazar una circunferencia con centro en el citado punto y que pase por los 3 vértices. Esta circunferencia se denomina circunferencia circunscrita. En los triángulos rectángulos el Circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa, en los acutángulos es interior y en los obtusángulos es exterior.
• Incentro: es el punto donde se cortan las 3 bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo. La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los dos lados del ángulo, por tanto el Incentro está a la misma distancia de los 3 lados del triángulo, y con centro en él, se puede trazar una circunferencia que es tangente a dichos lados. Esta circunferencia es la circunferencia inscrita. Independientemente de los ángulos del triángulo, el Incentro siempre está en su interior.

En esta applet de geogebra podéis ver todos estos puntos, y si movéis los vértices descubriréis qué les sucede según los diferentes triángulos que vayáis creando.

Una peculiaridad del Baricentro, el Ortocentro y el Circuncentro, es que siempre están alineados, constituyendo así la llamada recta de Euler, en honor al matemático suizo que descubrió esta colinealidad. En los triángulos isósceles, también el Incentro pertenece a la mencionada recta, y en los equiláteros, los 4 puntos notables son coincidentes.

Además podéis comprobar que la distancia del Baricentro al Circuncentro es la mitad que la del Baricentro al Ortocentro.

Y si no teníais suficientes curiosidades, os cuento la última que os va a dejar boquiabiertos. ¿Sabíais que hay una circunferencia que pasa por los 9 puntos de un triángulo? Se suele llamar también la circunferencia de Euler y si tomas como centro el punto medio del segmento que une el Ortocentro con el Circuncentro, podrás trazarla. ¿Has averiguado ya cuáles son esos 9 puntos? 

Concluido este intenso repaso, ¿qué punto creéis que elegiré para plantar los árboles? Quizás el  Incentro sea una buena opción...

Ya os contaré!

EL BARICENTRO: ESE GRAN DESCONOCIDO

Hola a tod@s!

Este año me he propuesto fijarme más en las figuras geométricas que nos rodean, especialmente en la arquitectura, y hoy me gustaría enseñaros un increíble cerramiento de fachada que he descubierto en Barcelona. 

Es una especie de celosía dinámica compuesta por triángulos equiláteros que se abren y se cierran generando un suave movimiento. A pesar de una geometría tan sencilla, resulta espectacular, ¿verdad? 

¿Y sabéis cuál es el punto que más destaca en cada triángulo de la celosía y que genera las 3 piezas que se abaten? 

Se trata del Baricentro. 

Todos habréis oído hablar de él, pero quiero contaros algunas cosas que seguramente no conocéis (o ya las habéis olvidado...), para que sepáis la importancia que tiene para los triángulos, y es que, independientemente de cómo sean éstos, el Baricentro siempre está en su interior.

Su nombre procede del griego y significa pesado, grave; no en vano, el Baricentro coincide con el centro de gravedad del triángulo y por eso también se le conoce como Centroide. Aunque en Física se le representa con la letra G, en Geometría se le identifica por Ba.

Dentro del triángulo es sencillo localizarle porque es el punto de intersección de sus tres medianas, entendiendo por mediana el segmento que une cada vértice con el punto medio del lado opuesto.

Una característica del Baricentro es que divide a cada mediana en dos segmentos, de tal manera, que la distancia de cada vértice al Baricentro es 2/3 de la longitud de la mediana. Por esta razón, el segmento que une el Baricentro con cada vértice del triángulo mide siempre el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto correspondiente.

                                      

Otra curiosidad es que cada mediana divide al triángulo por la mitad, de lo que se deduce que las 3 medianas dividen al triángulo es 6 triángulos más pequeños, siendo éstos todos iguales, y con un área equivalente a 1/6 del área total.

También puedes observar otra cosa, y es que uniendo los pies de las medianas se obtiene un triángulo semejante al original cuyo área es 1/4.

Aunque los triángulos de nuestra celosía son equiláteros, os invito a que investiguéis qué le sucede al Baricentro en los distintos tipos de triángulos y si se cumplen todas las propiedades.

Espero haberos sorprendido!