Hola a tod@s!
Siguiendo con mi propósito de descubrir geometrías ocultas, esta vez, aprovechando mi viaje a Roma, quería hablaros de las cónicas, que son un conjunto de curvas que resultan de la intersección de un plano con un cono o superficie cónica de revolución, de ahí su nombre.
Dependiendo de la inclinación de dicho plano respecto al eje de la superficie cónica, se obtiene una curva distinta, con la particularidad de que si el plano secciona al cono perpendicularmente, la curva formada es una Circunferencia (1).
En los demás casos, tendremos las siguientes cónicas:
- Elipse (2): el plano secante es oblicuo al eje y corta todas las generatrices del cono
- Parábola (3): el plano secante es oblicuo al eje y paralelo a una de las generatrices del cono.
- Hipérbola (4):el plano secante es paralelo y oblicuo al eje y corta al cono
Si miramos a nuestro alrededor, en esta ciudad italiana, la cónica que observamos con mayor frecuencia es la elipse, sobre todo en la arquitectura barroca, ya que es en esa época donde las curvas adquieren protagonismo frente a las líneas rectas para dotar de mayor teatralidad a los espacios.
La elipse se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Con esta característica, las elipses podían trazarse sin complicaciones utilizando, por ejemplo, el llamado "método del jardinero", mediante el cual, colocando dos estacas en los focos y con una cuerda bien tensada que midiera lo mismo que el eje mayor, se ataba a cada una de las estacas y se rodeaban por fuera los focos describiendo así la trayectoria elíptica.
Podemos contemplar elipses en la forma de la planta del Coliseo, en la configuración de la plaza de San Pedro, en la cúpula de la iglesia de San Carlino... pero sin duda, una de las que más ha llamado mi atención es la de la plaza del Campidoglio, diseñada por Miguel Ángel, ya que debido a la posición de los edificios que la enmarcan, a veces se percibe como un ovoide, dependiendo de la perspectiva desde la que se mire.
Toda elipse tiene una serie de elementos característicos que necesitáis conocer:
- ejes: son 2 ejes perpendiculares entre sí, uno llamado eje mayor o real y otro menor o imaginario, que se cortan en sus puntos medios
- centro: punto de intersección de los 2 ejes
- focos: son 2 puntos fijos situados en el eje mayor, simétricos respecto al eje menor. La distancia entre los focos se denomina distancia focal
- radios vectores: son las rectas que unen cualquier punto de la elipse con los focos
- circunferencial principal: tiene como centro el centro de la elipse, y de diámetro la longitud del eje mayor
- circunferencias focales: tienen como centro los focos, y de radio la longitud del eje mayor
En función de los elementos que tengamos como dato, es posible determinar el resto de elementos, empleando distintos procedimientos.
En nuestro caso la cónica está dibujada en la plaza y lo más fácil de distinguir son sus ejes de simetría. La dirección del eje mayor o principal, aunque no lo vemos, está marcada por la escalinata de acceso, mientras que el eje menor o secundario será perpendicular al principal desde el centro, donde justo se ubica la estatua ecuestre de Marco Aurelio sobre una estrella de 12 puntas.
¿Pero dónde están los focos?
Lo cierto es que, dada la elipse y conociendo los ejes, si desde el extremo del eje menor trazamos un arco cuyo radio es la longitud del semieje mayor, podemos localizar los focos en los puntos de corte del arco con el eje mayor, y entonces nos damos cuenta que los focos coinciden con la intersección de dos de los pétalos.
Pero aún hay una curiosidad más "escondida". Si cogemos un punto cualquiera P de la elipse, trazamos la recta tangente a la elipse por dicho punto, construimos una circunferencia auxiliar con centro en P y radio la distancia P-f2, al hallar el simétrico de f2 respecto a la tangente, obtenemos f'2 que será el punto de tangencia con la circunferencia focal. Por lo tanto también podremos dibujar la circunferencia focal con centro en f1 y radio f1-f'2.
¿Y creéis que el pavimento inspirado en la flor del girasol, guarda alguna relación geométrica con la curva?
Pues si trazamos las bisectrices de los ángulos que se forman en la estrella central y las alargamos hasta la elipse, descubrimos que se corresponden con las divisiones o puntos donde la punta de los pétalos debe tocar a la elipse.
Esto ha sido una pequeña introducción sobre la elipse que en breve ampliaré para profundizar más en esta curva y plantearos otros enfoques geométricos.
Del mismo modo, en futuras entradas del blog, trabajaremos la parábola y la hipérbola. ¿Ya habéis observado por Madrid alguna de ellas? Mantenedme informada!
Hasta la próxima!
