PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

 Hola de nuevo!

¿Podéis creeros que últimamente sólo veo triángulos en todas partes?

Hoy me han encargado un proyecto de jardinería a orillas del río Savinja en Eslovenia, en un parque lineal de geometrías triangulares. Lo que quieren es plantar árboles en los parterres de césped porque no hay ninguna sombra para resguardarse en los cálidos días de verano, y necesitan que les haga un diseño. Como todos los triángulos son diferentes, he pensado que podría establecer algún criterio encontrando un denominador común para todos ellos.

Ya sabéis que, aunque aparentemente los triángulos son figuras geométricas muy sencillas, poseen múltiples características, propiedades... y podemos encontrar varios teoremas y numerosas curiosidades al respecto.

¿Qué os parece si nos centramos en los puntos notables de los triángulos y me ayudáis a decidir?

Para empezar, vamos a repasar la definición de triángulo, que es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos que no se encuentran alineados. Los puntos de intersección de las rectas son los vértices, y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Además, los lados contiguos forman un ángulo, siendo la suma de los 3 ángulos interiores del triángulo, 180º.

Si recordáis existen 4 puntos notables:

• Baricentro: ya lo vimos el otro día.
• Ortocentro: es el punto donde se cortan las 3 alturas del triángulo, siendo éstas las rectas que pasan por cada vértice y son perpendiculares al lado opuesto de dicho vértice o a su prolongación. A diferencia del Baricentro que siempre está situado en el interior del triángulo, la ubicación del Ortocentro dependerá de los ángulos del triángulo. En los triángulos rectángulos, el Ortocentro coincide con el vértice correspondiente al ángulo recto, en los acutángulos es interior, y en los obtusángulos es exterior.
• Circuncentro: es el punto donde se cortan las mediatrices de los lados del triángulo.  Una mediatriz es la recta que pasa por el punto medio de cada lado, siendo perpendicular al mismo, y tiene la propiedad de que todos los puntos de la mediatriz equidistan de los vértices que definen el lado. Esto implica que el Circuncentro está a la misma distancia de los vértices del triángulo y por eso es posible trazar una circunferencia con centro en el citado punto y que pase por los 3 vértices. Esta circunferencia se denomina circunferencia circunscrita. En los triángulos rectángulos el Circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa, en los acutángulos es interior y en los obtusángulos es exterior.
• Incentro: es el punto donde se cortan las 3 bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo. La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los dos lados del ángulo, por tanto el Incentro está a la misma distancia de los 3 lados del triángulo, y con centro en él, se puede trazar una circunferencia que es tangente a dichos lados. Esta circunferencia es la circunferencia inscrita. Independientemente de los ángulos del triángulo, el Incentro siempre está en su interior.

En esta applet de geogebra podéis ver todos estos puntos, y si movéis los vértices descubriréis qué les sucede según los diferentes triángulos que vayáis creando.

Una peculiaridad del Baricentro, el Ortocentro y el Circuncentro, es que siempre están alineados, constituyendo así la llamada recta de Euler, en honor al matemático suizo que descubrió esta colinealidad. En los triángulos isósceles, también el Incentro pertenece a la mencionada recta, y en los equiláteros, los 4 puntos notables son coincidentes.

Además podéis comprobar que la distancia del Baricentro al Circuncentro es la mitad que la del Baricentro al Ortocentro.

Y si no teníais suficientes curiosidades, os cuento la última que os va a dejar boquiabiertos. ¿Sabíais que hay una circunferencia que pasa por los 9 puntos de un triángulo? Se suele llamar también la circunferencia de Euler y si tomas como centro el punto medio del segmento que une el Ortocentro con el Circuncentro, podrás trazarla. ¿Has averiguado ya cuáles son esos 9 puntos? 

Concluido este intenso repaso, ¿qué punto creéis que elegiré para plantar los árboles? Quizás el  Incentro sea una buena opción...

Ya os contaré!

EL BARICENTRO: ESE GRAN DESCONOCIDO

Hola a tod@s!

Este año me he propuesto fijarme más en las figuras geométricas que nos rodean, especialmente en la arquitectura, y hoy me gustaría enseñaros un increíble cerramiento de fachada que he descubierto en Barcelona. 

Es una especie de celosía dinámica compuesta por triángulos equiláteros que se abren y se cierran generando un suave movimiento. A pesar de una geometría tan sencilla, resulta espectacular, ¿verdad? 

¿Y sabéis cuál es el punto que más destaca en cada triángulo de la celosía y que genera las 3 piezas que se abaten? 

Se trata del Baricentro. 

Todos habréis oído hablar de él, pero quiero contaros algunas cosas que seguramente no conocéis (o ya las habéis olvidado...), para que sepáis la importancia que tiene para los triángulos, y es que, independientemente de cómo sean éstos, el Baricentro siempre está en su interior.

Su nombre procede del griego y significa pesado, grave; no en vano, el Baricentro coincide con el centro de gravedad del triángulo y por eso también se le conoce como Centroide. Aunque en Física se le representa con la letra G, en Geometría se le identifica por Ba.

Dentro del triángulo es sencillo localizarle porque es el punto de intersección de sus tres medianas, entendiendo por mediana el segmento que une cada vértice con el punto medio del lado opuesto.

Una característica del Baricentro es que divide a cada mediana en dos segmentos, de tal manera, que la distancia de cada vértice al Baricentro es 2/3 de la longitud de la mediana. Por esta razón, el segmento que une el Baricentro con cada vértice del triángulo mide siempre el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto correspondiente.

                                      

Otra curiosidad es que cada mediana divide al triángulo por la mitad, de lo que se deduce que las 3 medianas dividen al triángulo es 6 triángulos más pequeños, siendo éstos todos iguales, y con un área equivalente a 1/6 del área total.

También puedes observar otra cosa, y es que uniendo los pies de las medianas se obtiene un triángulo semejante al original cuyo área es 1/4.

Aunque los triángulos de nuestra celosía son equiláteros, os invito a que investiguéis qué le sucede al Baricentro en los distintos tipos de triángulos y si se cumplen todas las propiedades.

Espero haberos sorprendido!