Esta semana he empezado un taller de vidrieras y me han venido a la memoria los impresionantes y coloridos rosetones de las catedrales góticas.
He estado investigando un poco y he descubierto que la mayoría esconden una complejísima geometría, en la que sin duda predominan las circunferencias tangentes. El término "tangencia" viene del latín (tangere=tocar) y se emplea para designar líneas, curvas y
superficies que se tocan en uno o varios puntos sin llegar a cortarse.
Tratando de descifrar esos trazados, he podido deducir que hay circunferencias tangentes a otras 3 circunferencias dadas, circunferencias tangentes a 2 rectas y que pasan por 1 punto, circunferencias tangentes a 3 rectas, circunferencias tangentes a otra circunferencia y que pasan por 1 punto... el listado es interminable!
Me he desanimado un poco pensando en la cantidad de problemas que iba a tener que resolver para hacer mi diseño, pero entonces mi profesora me ha dicho que no me preocupara porque simplemente tenía que recordar el concepto de potencia de 1 punto respecto de 1 circunferencia y de esa manera, podría reducir todos los casos a uno más genérico: el Problema Fundamental de Tangencias (PFT).
Con ese nombre tan importante, os preguntaréis en qué consiste, ¿no? ¿Y cómo lo resolvemos?
Caso 1: PPr
Al parecer, para determinar las circunferencias de mi vidriera, sólo necesito saber una recta r a la que sea tangente y dos puntos de paso P y Q. Con esos datos, hay que determinar el valor de la potencia mediante alguna de las construcciones utilizadas para resolver medias proporcionales:
- teorema de la altura
- teorema del cateto
- potencia
En la applet de geogebra que os pongo a continuación, os he puesto los pasos necesarios para resolverlo.
En el caso de la vidriera, elegiré la circunferencia que más me convenga al diseño.
Poco a poco voy avanzando y me doy cuenta que para una de las circunferencias que necesito dibujar, sólo conozco 1 punto por el que pasa, y dos rectas a las que es tangente.
Entonces, ¿cómo puedo simplificar el problema para que sea como el anterior?
Caso 2: Prr
Como la circunferencia que busco tiene que ser tangente a las dos rectas, también será equidistante a ambas rectas, y si además tiene que pasar por el punto P, esta equidistancia se puede conseguir obligando a la circunferencia a pasar por el simétrico de P, P’. Con ello, ahora podemos considerar que las 3 condiciones necesarias para hallar la solución no son 2 rectas y 1 punto, sino 2 puntos y 1 recta, como en el caso anterior, y a partir de ahí el procedimiento será el mismo, como podéis comprobar en geogebra.
Gracias a la reducción al PFT, todo es mucho más fácil y creo que podré diseñar mi vidriera sin problemas.
¿Os ha parecido útil? Espero que os animéis a practicar...
