DETERMINACIÓN DEL INVERSO DE UN PUNTO. ESTUDIO DE CONSTRUCIONES.

Hola a tod@s!

Ya sabéis que siempre estoy a vueltas con la geometría y una vez más voy a dar muestra de ello. Tras mi visita a la Alhambra de Granada, me he quedado fascinada con la cantidad de mosaicos diferentes que podéis encontrar, y como tengo pendiente pintar un mural, he pensado que los motivos geométricos pueden servirme de inspiración.

Hay teselas me gustan mucho como la pajarita nazarí o el pétalo, cuyas formas derivan de un triángulo equilátero, así como el avión o el hueso, que derivan de un cuadrado. Sin embargo, me gustaría hacer algo más innovador para el mural. ¿Qué os parece si en vez de polígonos regulares como en la Alhambra, utilizo sus figuras inversas? Si aplicamos la inversión a un polígono, obtendremos una figura que no mantiene las proporciones originales, y como además es involutiva, si se aplica dos veces obtenemos la figura inicial.

Para aquellos que no sepan qué es una inversión, deciros que, al igual que la homotecia, se trata de una transformación geométrica con centro, en la que a cada punto P le corresponde un inverso P’, de manera que ambos estarán alineados con un punto fijo llamado Centro de Inversión I. 

La relación entre las posiciones relativas de cada punto y su transformado respecto del centro de inversión se basan en el concepto de potencia y siempre se cumple que el producto de la distancia de un punto al centro de inversión, por la distancia de su transformado a dicho centro es constante. Es lo que se llama potencia de inversión. IP·IP’=cte.

Teniendo en cuenta la potencia de un punto respecto a una circunferencia, si desde el Centro de Inversión trazamos rectas secantes a la circunferencia, encontramos diferentes puntos y sus inversos y como K es constante, cuanto más cerca esté un punto del Centro de Inversión, más lejos estará su transformado.

Existe un caso en que un punto y su inverso coinciden, es decir, que los dos están a la misma distancia del Centro de Inversión. Se trata de los puntos obtenidos al trazar una recta tangente desde el Centro de Inversión a la circunferencia.

OA·OA’ = OB·OB’ = OT·OT = K

Todos los puntos situados a la misma distancia del Centro de Inversión que el punto de tangencia, se dice que son puntos dobles, y a este lugar geométrico se le llama Circunferencia de Puntos Dobles o Circunferencia de Autoinversión. Cualquier circunferencia que contenga un par de puntos inversos es doble.

La potencia de inversión será positiva si el punto y su inverso están al mismo lado respecto del centro de inversión, y será negativa si el centro de inversión se encuentra entre el punto y su inverso. En el caso de potencia positiva, la inversión puede tener puntos dobles, mientras que con potencia negativa, la Circunferencia de Autoinversión será doble pero no de puntos dobles

Otra característica de la Inversión es que se trata de una transformación conforme u homográfica, lo que significa que conserva las relaciones angulares, es decir,  el ángulo que forman dos elementos será el mismo que el que forman sus transformados. Por este motivo, una de las aplicaciones más frecuentes de la inversión es la resolución de los problemas de tangencias.

Una Inversión puede estar definida de 3 maneras:

• Dado el Centro de Inversión y un par de puntos inversos
• Dado el Centro de Inversión y la Potencia de Inversión
• Dados dos pares de puntos inversos no alineados

En nuestro caso, nos vamos a quedar con la opción en la que se conoce el Centro de Inversión y la Potencia, ya que sabiendo ésta, tendremos el radio de la Circunferencia de Autoinversión.

Otras consideraciones importantes a tener en cuenta son las siguientes:

• dos puntos y sus inversos son concíclicos, es decir, que están en una misma circunferencia que es doble en la inversión y corta ortogonalmente a la misma.
• la recta que une 2 puntos no alineados A y B y la que une sus respectivos inversos A' y B' son antiparalelas, lo que significa que el ángulo que forma la recta A-A’ con A’-B’ y con A-B son iguales que los que forma la recta B-B’ con A-B y con A’-B’ respectivamente.

Y entonces, ¿cómo determinamos el inverso de un punto? Existen diferentes construcciones, bastante sencillas, que se pueden emplear para resolverlo:

• Teorema de Thales

• Teorema de la altura

• Teorema del cateto

• Concepto de Potencia

• Por antiparalelas

• Por circunferencia doble

Ahora sólo nos queda hallar el inverso de nuestras formas geométricas por el método que prefieras, a ver qué figura obtenemos.

Os animo a intentarlo!